Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Stand WS2027

Partielle Ableitung

Wir schauen uns die allgemeinen Möglichkeiten der Notationen von partiellen Ableitungen an. Danach gehen wir auf die Ermittlung der 1. partiellen Ableitung nach verschiedenen Variablen ein und wollen dazu einige beispielhafte partielle Ableitungen vornehmen. Die Inhalte sind auf die Grundlagen der Wirtschaftsmathematik der Fernuni Hagen zugeschnitten.

Partielle Ableitung:

Eine Ableitung, die sich nur auf eine Variable bezieht, obwohl die Funktion mehrere Variablen aufweist, nennt sich partielle Ableitung.

Notation der 1. partiellen Ableitung:

Eine partielle Ableitung wird entweder mit der tiefgestellten Variable nach dem 𝑓 wonach abgeleitet wurde notiert, oder durch eine gebrochene Funktion mit dem Buchstaben 𝜕:

Notationsarten der ersten partiellen Ableitung

Notation der 2. partiellen Ableitung:

Die Darstellung der 2. partiellen Ableitung erfolgt durch einen weiteren tiefgestellten Buchstaben oder einer Quadratzahl in der gebrochenen Funktion:

Notationsformen der zweiten partiellen Ableitung

Notation der 2. partiellen Ableitung der anderen Variable:

Die 2. partielle Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen kann auch nach der anderen Variable erfolgen, als die Variable mit der die 1. Ableitung gebildet wurde. Eine solche 2. Ableitung wird wie folgt notiert:

$𝑓_{𝑥} (𝑥, 𝑦) = \frac{𝜕 𝑓 (𝑥, 𝑦)}{𝜕 𝑥} \Rightarrow 𝑃 𝑎 𝑟 𝑡 𝑖 𝑒 𝑙 𝑙 𝑒 𝐴 𝑏 𝑙 𝑒 𝑖 𝑡 𝑢 𝑛 𝑔 𝑛 𝑎 𝑐 h 𝑥$

Bildung der 1. partiellen Ableitung:

Bei der Bildung einer partiellen Ableitung ist es wichtig, die Variablen, wonach nicht abgeleitet wird, wie einfache Zahlen bei der Ableitung zu behandeln. Der Vorgang der Ableitung bleibt dann exakt der Gleiche wie wir es gelernt haben.

Allgemeine Bildung der ersten partiellen Ableitung

Bei der Ableitung nach nur einer Variable ist gezielt darauf zu achten, dass die andere Variable wie eine Zahl behandelt wird, unabhängig davon, ob sie einen Exponenten besitzt oder nicht. Solange die abgeleitete Variable in dem einzelnen Term nicht auftaucht, fällt dieser Weg.

Bildung der 1. partiellen Ableitung bei aneinandergehängten Variablen:

Sind beide Variablen durch eine Multiplikation miteinander verbunden, so bleibt die Variable, nach der nicht abgeleitet wird, unangetastet stehen. Der Vorgang der Ableitung erfolgt lediglich für die Variable nach der abgeleitet wird. Die Kettenregel ist hier nicht erforderlich!

$𝑓_{𝑦} (𝑥, 𝑦) = \frac{𝜕 𝑓 (𝑥, 𝑦)}{𝜕 𝑦} \Rightarrow 𝑃 𝑎 𝑟 𝑡 𝑖 𝑒 𝑙 𝑙 𝑒 𝐴 𝑏 𝑙 𝑒 𝑖 𝑡 𝑢 𝑛 𝑔 𝑛 𝑎 𝑐 h 𝑦$

Weitere Beispiele:

Bildung verschiedener partieller Ableitungen