Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Stand WS2027

Norm eines Vektors

Wir sprechen über die Notation der Norm eines Vektors, was der Länge eines Vektors entspricht. Dazu gehen wir auf die allgemeine Berechnung der Norm ein, bevor wir dann die Norm bzw. Länge eines beispielhaft vorgegebenen Vektors bestimmen. Die Inhalte sind auf die Grundlagen der Wirtschaftsmathematik der Fernuni Hagen zugeschnitten.

Norm eines Vektors:

Bei der Norm eines Vektors geht es um die Bestimmung der Länge eines Vektors. Spricht man also von der Norm, so meint man die Länge eines Vektors. Die Notation erfolgt dabei durch 2 Striche links und rechts vom Vektor (‖‖𝒂‖‖). Die Notation ähnelt den Betragsstrichen bei reellen Zahlen, was auch gewollt ist, denn bei der Länge eines Vektors handelt es sich im Grunde um den Betrag des Vektors. Um allerdings zu unterscheiden, ob es sich um den Betrag einer reellen Zahl oder um den Betrag eines Vektors handelt, macht man 2 senkrechte Striche jeweils links und rechts.

Vorgehensweise zur Bestimmung der Norm eines Vektors:

Zur Bestimmung der Länge eines Vektors werden alle reellen Zahlen des Vektors quadriert und aufsummiert. Aus der Summe ist dann die Wurzel zu ziehen.

$‖ 𝒂 ‖ = \sqrt{𝑎_{1}^{2} + 𝑎_{2}^{2} +\dots+ 𝑎_{𝑛}^{2}} = \sqrt{\sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑎_{𝑖}^{2}}$

Anwendung der Bestimmung der Norm eines Vektors:

$‖ 𝒂 ‖ = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 8^{2} + 1 5^{2} + 12 ²} = \sqrt{9 + 16 + 64 + 225 + 144} = \sqrt{458} = 21,40$

Zur Bestimmung der Norm sind nun die einzelnen Zahlen zu quadrieren, danach zu addieren und die Wurzel zu ziehen:

$𝒂^{𝑻} = (4, - 2, 6, - 5)$

Die Länge des Vektors beträgt 21,40.

Beispiel:

$‖ 𝒂^{𝑻} ‖ = \sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2} + 6^{2} + (- 5)²} = \sqrt{16 + 4 + 36 + 25} = \sqrt{81} = 9$