Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Stand WS2027

Konvergente Folge

Wir sprechen über die Eigenschaften der Konvergenz und Divergenz einer Folge und veranschaulichen sie uns grafisch, wie eine konvergente Folge und divergente Folge verläuft. Darauf aufbauend berechnen wir einige Beispiele entsprechender Folgen. Die Inhalte sind auf die Grundlagen der Wirtschaftsmathematik der Fernuni Hagen zugeschnitten.

Konvergenz:

Strebt eine Folge nach einer Zahl (auch Null), wird diese Folge als konvergent bezeichnet. Die Folge besitzt eine Grenze. Berechnet man den Grenzwert, erhält man eine eindeutige Zahl (Eindeutiger Grenzwert).

Darstellung des grafischen Verlaufs einer konvergenten Folge.

Eine Folge ist konvergent, wenn sie eine Grenze besitzt bzw. nicht in die Unendlichkeit verläuft. Die Grenze erhält man durch die Grenzwert-Berechnung.

1. Beispiel:

$𝑎_{𝑛} = \frac{1}{𝑛} \Rightarrow \begin{matrix} 𝑙 𝑖 𝑚 \\ 𝑛 \to\infty \end{matrix} \frac{1}{𝑛} = \frac{1}{\infty} = 0$

Diese Folge besitzt eine Grenze bei der Zahl Null. Die Folge konvergiert gegen 0.

2. Beispiel:

$𝑎_{𝑛} = \frac{𝑛^{3} + 15}{4 𝑛^{4}} \Rightarrow \begin{matrix} 𝑙 𝑖 𝑚 \\ 𝑛 \to\infty \end{matrix} \frac{𝑛^{3} + 15}{4 𝑛^{4}} \Rightarrow 𝐻 ö h 𝑒 𝑟 𝑒 𝑃 𝑜 𝑡 𝑒 𝑛 𝑧 𝑖 𝑚 𝑁 𝑒 𝑛 𝑛 𝑒 𝑟 = 0$

Diese Folge besitzt ebenfalls eine Grenze bei der Zahl Null. Die Folge konvergiert gegen 0.

3. Beispiel:

$𝑎_{𝑛} = \frac{𝑛^{2} + 1}{3 𝑛^{2} - 8} \Rightarrow \begin{matrix} 𝑙 𝑖 𝑚 \\ 𝑛 \to\infty \end{matrix} \frac{𝑛^{2} + 1}{3 𝑛^{2} - 8} = \frac{1 + \frac{1}{𝑛^{2}}}{3 - \frac{8}{𝑛^{2}}} = \frac{1 + 0}{3 - 0} = \frac{1}{3}$

Diese Folge besitzt eine Grenze bei der Zahl 1/3 . Die Folge konvergiert gegen 1/3.

Alle Beispielfolgen werden als konvergent bezeichnet, da sie eine bestimmte Grenze besitzen und eine eindeutige Aussage getroffen werden kann, welchen Wert die Folge erreicht, wenn die Zahl unendlich groß wäre.

Divergenz:

Strebt eine Folge nicht nach einer Zahl, wird diese Folge als divergent bezeichnet. Die Folge besitzt keine Grenze. Berechnet man den Grenzwert, gelangt man zu ±∞. Alle Folgen, die nicht konvergent sind, sind divergent.

Darstellung des grafischen Verlaufs einer divergenten Folge.

Eine Folge ist divergent, wenn sie keine Grenze besitzt bzw. in die Unendlichkeit verläuft.

1. Beispiel:

$𝑎_{𝑛} = \frac{𝑛}{1} \Rightarrow \begin{matrix} 𝑙 𝑖 𝑚 \\ 𝑛 \to\infty \end{matrix} \frac{𝑛}{1} = \frac{\infty}{1} =\infty$

Diese Folge besitzt keine Grenze. Die Folge ist divergent.

2. Beispiel:

$𝑎_{𝑛} = \frac{𝑛^{4} + 15}{4 𝑛^{3}} \Rightarrow \begin{matrix} 𝑙 𝑖 𝑚 \\ 𝑛 \to\infty \end{matrix} \frac{𝑛^{4} + 15}{4 𝑛^{3}} \Rightarrow 𝐻 ö h 𝑒 𝑟 𝑒 𝑃 𝑜 𝑡 𝑒 𝑛 𝑧 𝑖 𝑚 𝑍 ä h 𝑙 𝑒 𝑟 =\infty$

Diese Folge besitzt keine Grenze. Die Folge ist divergent.

3. Beispiel:

$𝑎_{𝑛} = \frac{- 𝑛^{4} + 15}{4 𝑛^{3}} \Rightarrow \begin{matrix} 𝑙 𝑖 𝑚 \\ 𝑛 \to\infty \end{matrix} \frac{{- 𝑛}^{4} + 15}{4 𝑛^{3}} \Rightarrow 𝐻 ö h 𝑒 𝑟 𝑒 𝑃 𝑜 𝑡 𝑒 𝑛 𝑧 𝑖 𝑚 𝑍 ä h 𝑙 𝑒 𝑟 (𝑍 ä h 𝑙 𝑒 𝑟 𝑛 𝑒 𝑔 𝑎 𝑡 𝑖 𝑣) =-\infty$

Diese Folge besitzt keine Grenze. Die Folge ist divergent.

Alle Beispielfolgen werden als divergent bezeichnet, da sie keine bestimmte Grenze besitzen und keine eindeutige Aussage darüber getroffen werden kann, welchen Wert die Folge erreicht, wenn die Zahl unendlich groß wäre.

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