Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Stand WS2027

Integrieren

Wir sprechen über die Ermittlung der Stammfunktion bzw. die Ermittlung des Integrals einer Funktion. Dazu lernen wir 3 Schritte kennen, mit denen man sehr schnell und einfach eine Funktion integrieren kann und somit zur Stammfunktion gelangt. Die Inhalte sind auf die Grundlagen der Wirtschaftsmathematik der Fernuni Hagen zugeschnitten.

Bedeutung der Stammfunktion:

Bei der Stammfunktion 𝐹(𝑥) handelt es sich um eine Funktion, welche abgeleitet eine beliebige aber vorgegebene reelle Funktion 𝑓 ergibt. Zur Ermittlung einer Stammfunktion muss die angegebene Funktion „aufgeleitet“ bzw. integriert werden. Dazu ist genau der gegenteilige Prozess zur Ableitung zu vollziehen. Leitet man die Stammfunktion wiederrum ab, muss sie der vorgegebenen reellen Funktion 𝑓 entsprechen.

Mathematische Durchführung einer Integration:

Zur Aufleitung bzw. Integration einer Funktion 𝑓 muss der Exponent mit der Zahl 1 addiert werden. Danach muss der Kehrwert des Exponenten mit der davorstehenden Zahl multipliziert werden. Zusätzlich ist IMMER eine Konstante c hinzuzuaddieren, da diese bei einer entsprechenden Ableitung wegfallen würde. Die grundsätzliche Integration einer Funktion soll mit folgender Funktion veranschaulicht werden:

Vorgehensweise zur Durchführung einer Integration

Die Integration lautet folglich:

$𝑭 𝒖 𝒏 𝒌 𝒕 𝒊 𝒐 𝒏 : 𝑓 (𝑥) = 𝑥^{3} + 2 𝑥^{2} - 5 𝑥$

Beispiele:

Integrationsregeln bei Additionen und Subtraktionen:

Bei Funktionen mit Additionen oder Subtraktionen wird im Ablauf genau gleich verfahren, jedoch muss jede einzelne Variable der Funktion integriert werden. Es ist der gleiche Prozess wie beim Ableiten, eben nur umgekehrt, vorzunehmen.

Integration einer Funktion mit Additionen und Subtraktionen:

Folgende Funktion sei gegeben, welche es nach 𝑥 zu integrieren gilt:

$𝟏 . 𝑺 𝒄 𝒉 𝒓 𝒊 𝒕 𝒕 : 𝐸 𝑥 𝑝 𝑜 𝑛 𝑒 𝑛 𝑡 𝑚 𝑖 𝑡 𝑑 𝑒 𝑟 𝑑 𝑎 𝑣 𝑜 𝑟 𝑠 𝑡 𝑒 h 𝑒 𝑛 𝑑 𝑒 𝑛 𝑍 𝑎 h 𝑙 𝑚 𝑢 𝑙 𝑡 𝑖 𝑝 𝑙 𝑖 𝑧 𝑖 𝑒 𝑟 𝑒 𝑛 : {3 ∙ 𝑥}^{3} + 2 ∙ 2 𝑥^{2} - 1 ∙ 5 𝑥^{1} = 3 𝑥^{3} + 4 𝑥^{2} - 5 𝑥^{1}$

Die Terme sind nach dem eben genannten Schema einfach zu integrieren, dabei bleiben + oder – unverändert, sofern der Exponent positiv ist:

$𝟐 . 𝑺 𝒄 𝒉 𝒓 𝒊 𝒕 𝒕 : 𝐷 𝑖 𝑒 𝑍 𝑎 h 𝑙 1 𝑣 𝑜 𝑚 𝐸 𝑥 𝑝 𝑜 𝑛 𝑒 𝑛 𝑡 𝑒 𝑛 𝑎 𝑏 𝑧 𝑖 𝑒 h 𝑒 𝑛 : 3 𝑥^{3 - 1} + 4 𝑥^{2 - 1} - 5 𝑥^{1 - 1} = 3 𝑥^{2} + {4 𝑥}^{1} - {5 𝑥}^{0} = {3 𝑥}^{2} + 4 𝑥 - 5$

Die Integration lautet folglich:

$𝑓^{'} (𝑥) = {3 𝑥}^{2} + 4 𝑥 - 5$