Varianzanalyse
Die Varianzanalyse als asymmetrisches Analyseverfahren dient zur Prognose für den Beobachtungswert eines metrisch skalierten Merkmals unter Vorgabe einer nominalskalierten Merkmalsausprägung. Dazu schauen wir uns ein Beispiel an, welches verdeutlicht, was genau mit Hilfe der Varianzanalyse ausgesagt werden kann. Danach wollen wir auf die Grundlagen multipler Vergleiche bei Gruppen eingehen. Die Inhalte sind auf die Vertiefung der Statistik der Fernuni Hagen zugeschnitten.
Definition der Varianz-Analyse:
Die Varianz-Analyse als asymmetrisches Analyseverfahren untersucht, inwieweit man mit Hilfe der Vorgabe oder des Wissens einer nominalskalierten Merkmalsausprägung eine Prognose für den Beobachtungswert des metrisch skalierten Merkmals treffen kann, sofern ein Zusammenhang zwischen dem nominal- und dem metrisch skalierten Merkmal besteht. Die Prognose des Beobachtungswertes erfolgt dabei anhand des Mittelwertes der gemeinsam erhobenen Stichprobenwerte. Je mehr sich die Mittelwerte der gemeinsam erhobenen Stichprobenwerte vom Mittelwert des metrisch skalierten Merkmals selbst unterscheiden, desto mehr trägt das Wissen über die nominalskalierte Merkmalsausprägung zur Erklärung der Varianz des metrisch skalierten Merkmals bei.
Vereinfachtes Beispiel
Zum besseren Verständnis wollen wir beispielhaft von dem nominalskalierten Merkmal „Jahreszeit“ und den beiden metrisch skalierten Merkmalen „Temperatur“ und „Anzahl der Schüler im Unterricht“ ausgehen. Dabei soll zwischen insgesamt vier verschiedenen Jahreszeiten Frühling 1, Sommer 2, Herbst 3 und Winter 4 unterschieden werden. Ergeben sich nun für die verschiedenen Jahreszeiten signifikante Unterschiede bei den Mittelwerten der Temperaturen bzw. Schüler im Unterricht, so kann mit Hilfe des Wissens der Jahreszeit die Temperatur bzw. die Schüler im Unterricht besser prognostiziert werden. Unterscheiden sich die Mittelwerte hingegen kaum, so trägt das Wissen über die Jahreszeit kaum zur besseren Prognose der Temperatur oder der Anzahl der Schüler im Unterricht bei, da die Mittelwerte dem Mittelwert des alleinigen Merkmals „Temperatur“ bzw. „Anzahl der Schüler im Unterricht“ sehr ähnlich sind:
Beispiel 1 zeigt sehr eindeutig, dass sich mit Hilfe des Wissens über die Jahreszeit ein wesentlich besserer Wert für die Temperatur prognostizieren lässt, als wenn man den Mittelwert des Merkmals „Temperatur“ benutzen würde. Beispiel 2 zeigt hingegen sehr eindeutig, dass bei geringen Mittelwertsunterschieden das nominalskalierte Merkmal „Jahreszeit“ kaum zu einer besseren Prognose beiträgt.
Merke:
Damit die nominalskalierten Merkmalsausprägungen des Merkmals „Jahreszeit“ tatsächlich zur Verbesserung der Prognose des Merkmals „Temperatur“ oder „Anzahl der Schüler im Unterricht“ beitragen, müssen signifikante Unterschiede zwischen den Mittelwerten auftreten, damit die gemeinsamen Mittelwerte nicht fast dem Mittelwert des Merkmals „Temperatur“ bzw. „Anzahl der Schüler im Unterricht“ selbst entsprechen.Achtung:
Im Folgenden wird nicht mehr von Merkmalsausprägungen beim nominalskalierten Merkmal, sondern von sogenannten Gruppen gesprochen.Grundlagen multipler Vergleiche bei Gruppen:
Um feststellen zu können, ob die verschiedenen Gruppen (Merkmalsausprägungen) eines nominalskalierten Merkmals tatsächlich zur besseren Prognose eines metrisch skalierten Merkmals beitragen, muss getestet werden, ob sich signifikante Unterschiede zwischen den Mittelwerten der einzelnen Gruppen (Merkmalsausprägungen) ergeben. Zur Ermittlung signifikanter Unterschiede dienen statistische Testverfahren, wobei die Gleichheit der Mittelwerte in der Nullhypothese zu formulieren ist, damit mit dem Ablehnen der Nullhypothese die Gegenhypothese, dass die Mittelwerte unterschiedlich sind, als statistisch abgesichert angesehen werden kann. Da allerdings die Nullhypothese aus mehreren Mittelwerten besteht, bedarf es multipler Vergleiche, also der Durchführung mehrerer Testverfahren zwischen den unterschiedlichen Gruppen.
Nullhypothese bei multiplen Vergleichen:
Um Unterschiede bei den Mittelwerten zwischen Gruppen feststellen zu können, muss als Nullhypothese formuliert werden, dass der Mittelwert bzw. Erwartungswert jeder Gruppe gleich der anderen ist. Gehen wir beispielsweise von 4 Gruppen, Gruppe 1, 2, 3 und 4, aus, gilt als Nullhypothese zu formulieren:
𝐻_0: 𝜇_1 = 𝜇_2 = 𝜇_3 = 𝜇_4 ; 𝐻_1: 𝜇_𝑖 ≠ 𝜇_𝑗 𝑓ü𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑒𝑖𝑛 𝑃𝑎𝑎𝑟 𝑖,𝑗
Merke:
Die komplette Nullhypothese ist abzulehnen, sobald auch nur ein Mittelwert einer Gruppe 𝑖 laut Testverfahren nicht mit dem Mittelwert einer anderen Gruppe 𝑗 übereinstimmt.Multiple Vergleiche mittels Testverfahren:
Zur Überprüfung der Nullhypothese muss ein passendes Testverfahren zum Vergleich von Stichproben (Differenztest) verwendet werden. Es gilt so viele Testverfahren durchzuführen, dass jeder Mittelwert einer Gruppe mit jedem verglichen wurde. Führen alle Testverfahren zum Nicht-Ablehnen der Nullhypothese, würden sich die Erwartungswerte aller Gruppen nicht signifikant unterscheiden. Zur Ermittlung der Anzahl, wie viele Testverfahren 𝑘 durchgeführt werden müssen, um alle Mittelwerte der Gruppen zu vergleichen, ist die Gesamtanzahl der vorliegenden Gruppen, bezeichnet mit groß 𝐼, mit der Gesamtanzahl der vorliegenden Gruppen minus 1 (𝐼−1) zu multiplizieren und dann durch die Zahl 2 zu dividieren. Nehmen wir insgesamt 𝐼=4 Gruppen an, muss die folgende Anzahl an Tests 𝑘 durchgeführt werden:
Es gilt also insgesamt 6 Differenztests durchzuführen, denn folgende Mittelwerte müssen miteinander verglichen werden, damit jeder Mittelwert mit jedem verglichen wurde:
Erwartungswert Gruppe 1 ; Erwartungswert Gruppe 2: 𝜇_1 = 𝜇_2
Erwartungswert Gruppe 1 ; Erwartungswert Gruppe 3: 𝜇_1 = 𝜇_3
Erwartungswert Gruppe 1 ; Erwartungswert Gruppe 4: 𝜇_1 = 𝜇_4
Erwartungswert Gruppe 2 ; Erwartungswert Gruppe 3: 𝜇_2 = 𝜇_3
Erwartungswert Gruppe 2 ; Erwartungswert Gruppe 4: 𝜇_2 = 𝜇_4
Erwartungswert Gruppe 3 ; Erwartungswert Gruppe 4: 𝜇_3 = 𝜇_4