Unabhängigkeit von Merkmalen
Wir sprechen über die Unabhängigkeit von Merkmalen und was sie über den Zusammenhang der Merkmale (Korrelation) aussagt. Danach überprüfen wir mittels der bedingten Verteilung Merkmale auf deren Unabhängigkeit. Zusätzlich lernen wir, die Unabhängigkeit über die Multiplikation der Randverteilungen zu ermitteln. Die Inhalte sind auf die Grundlagen der Statistik der Fernuni Hagen zugeschnitten.
Grundlage der (Un-)Abhängigkeit von Merkmalen:
Zwischen zwei Merkmalen 𝑋 und 𝑌 kann eine Abhängigkeit oder Unabhängigkeit bestehen. Dabei besagt die Abhängigkeit zweier Merkmale 𝑋 und 𝑌, dass ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht. Das bedeutet, dass mittels des Wissens einer Merkmalsausprägung in gewissem Maße auf die Merkmalsausprägung des anderen Merkmals geschlossen werden kann. Die Unabhängigkeit hingegen besagt, dass keinerlei Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht, entsprechend existiert keinerlei Zusammenhang zwischen den Merkmalsausprägungen.
Beispiel der Abhängigkeit zweier Merkmale:
Die beiden Merkmale Körpergröße und Gewicht sind beispielsweise in gewissem Maße abhängig voneinander. So ist davon auszugehen, dass mit steigender Körpergröße auch das Gewicht in gewissem Maße steigt.
Beispiel der Unabhängigkeit zweier Merkmale:
Die beiden Merkmale Geschlecht und Nationalität sind beispielsweise unabhängig voneinander. Mittels des Wissens über das Geschlechts eines Menschen lässt sich keine Aussage über dessen Herkunft treffen.
Mathematische Ermittlung der Unabhängigkeit von Merkmalen:
Die Unabhängigkeit zweier Merkmale lässt sich mittels der bedingten Verteilung prüfen. Denn Unabhängigkeit von Merkmalen liegt genau dann vor, wenn die Verteilung eines Merkmals nicht vom anderen Merkmal beeinflusst wird. Stimmen die bedingten Verteilungen des Merkmals mit der Randverteilung des Merkmals überein, so nimmt das andere Merkmal keinerlei Einfluss auf dessen Verteilung. Für die Unabhängigkeit von Merkmalen muss entsprechend gelten:
Für die Unabhängigkeit zweier Merkmale muss allgemein folgendes gelten:
Merke:
Stimmt auch nur eine bedingte Verteilung eines Merkmals nicht mit der Randverteilung des Merkmals überein, sind die Merkmale abhängig!Mathematische Umformung zur Vereinfachung der Ermittlung der Unabhängigkeit von Merkmalen:
Mathematische Umformung der Gleichung für die Unabhängigkeit von Merkmalen:
Für die Ermittlung der Unabhängigkeit von Merkmalen galt folgender mathematischer Zusammenhang:
Aus den bedingten Verteilungen wissen wir, dass 𝑓(𝑥_𝑗│𝑦_𝑘 )=(𝑓(𝑥_(𝑗, ) 𝑦_𝑘))/(𝑓(𝑦_𝑘)) bzw. das 𝑓(𝑦_𝑘│𝑥_𝑗 )=(𝑓(𝑥_(𝑗, ) 𝑦_𝑘))/(𝑓(𝑥_𝑗)) entspricht. Ersetzen wir die bedingten Verteilungen mit ihrer mathematischen Gleichung, gelangen wir für die Unabhängigkeit von Merkmalen zu folgendem Zusammenhang:
Diese Gleichungen lassen sich nun durch die Multiplikation mit dem Nenner umformen, sodass sich Gleichungen aufgelöst nach der relativen Häufigkeitsverteilung der Merkmalskombinationen ergeben:
Da wir wissen, dass die relative Häufigkeit nichts anderes darstellt als die absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtanzahl aller Merkmalskombinationen 𝑛, können wir schließlich auch die absoluten Häufigkeiten für die Merkmalskombinationen bei Unabhängigkeit der Merkmale mittels der Randverteilungen ermitteln:
Vereinfachung der Prüfung auf die Unabhängigkeit von Merkmalen:
Aus der allgemeinen Gleichung zur Ermittlung der Unabhängigkeit von Merkmalen geht hervor, dass man neben dem Vergleich der bedingten Häufigkeiten mit der Randverteilung auch durch Multiplikation der jeweiligen Randverteilungen und ggf. Teilung durch 𝑛 prüfen kann, ob sich die richtige absolute/relative Häufigkeit für eine bestimmte Merkmalskombination ergibt. Stimmt die angegebene absolute/relative Häufigkeit der Merkmalskombination nicht mit dem Ergebnis der Multiplikation der jeweiligen Randverteilungen überein, sind die Merkmalsausprägungen abhängig voneinander.
Beispiel mittels der Vereinfachung zur Prüfung von Unabhängigkeit bei Merkmalen:
Zur Veranschaulichung der Vereinfachung wollen wir nochmals von unserem vorhergehenden Beispiel ausgehen, mit der gemeinsamen Verteilung des Merkmals 𝑋 Geschlecht und des Merkmals 𝑌 Nationalität:
Die Prüfung, ob die Merkmale voneinander unabhängig sind, erfolgt nun nicht mehr über die bedingte Verteilung, sondern wir wollen prüfen, ob die angegebenen Häufigkeiten der Merkmalskombinationen sich aus der Multiplikation der Randverteilung und anschließender Division durch 𝑛 = 100 ergeben:
Die Häufigkeitsverteilung aller Merkmalskombinationen stimmt mit der Multiplikation der jeweiligen Randverteilung überein. Das bedeutet, dass die Merkmale unabhängig voneinander sind. Wäre nur eine Häufigkeit abgewichen, so wären die Merkmale abhängig voneinander gewesen.