Konfidenzintervall
Wir wollen uns anhand zweier ausgewählter Beispiele mit dem Konfidenzintervall des Erwartungswertes μ vertraut machen. Dazu berechnen wir ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert und lernen, wie man mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung die Grenzen des Konfidenzintervalls bestimmen kann. Danach wollen wir ein Konfidenzintervall unter Berücksichtigung der Endlichkeitskorrektur berechnen. Die Inhalte sind auf die Grundlagen der Statistik der Fernuni Hagen zugeschnitt
Beispiele der Berechnung von Konfidenzintervallen für den Erwartungswert 𝝁:
Um die Vorgehensweise zur Berechnung des Konfidenzintervalls nochmals zu vertiefen, wollen wir ein paar Konfidenzintervalle berechnen.
Beispiel 1:
Aus einer endlichen Grundgesamtheit mit 𝑁 = 10.000 wurde eine Stichprobe im Umfang von 𝑛 = 50 erhoben. Die Stichprobe ergab einen Schätzwert für den Parameter 𝜇 ̂ = 225. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit beträgt 𝜎 = 9. Wie lautet das zweiseitige Konfidenzintervall bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1%?
Lösung 1:
Es handelt sich um ein zweiseitiges Konfidenzintervall und die Standardabweichung ist bekannt. Für den Stichprobenumfang ergibt sich 𝑛/𝑁 = 50/10000 = 0,005 < 0,05, sodass keine Endlichkeitskorrektur vorgenommen werden muss. Es gilt bei 𝛼 = 0,01:
Beispiel 2:
Aus einer endlichen Grundgesamtheit mit 𝑁 = 500 wurde eine Stichprobe im Umfang von 𝑛 = 30 erhoben. Die Stichprobe ergab einen Schätzwert für den Parameter 𝜇 ̂ = 504. Die Varianz beträgt 𝑆^2 = 64. Wie lautet das zweiseitige Konfidenzintervall bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,1%?
Lösung 2:
Es handelt sich um ein zweiseitiges Konfidenzintervall, wobei die Standardabweichung unbekannt ist (𝑆) und für 𝑛 gilt 𝑛 ≤ 30. Für den Stichprobenumfang ergibt sich 𝑛/𝑁 = 30/500 = 0,06 > 0,05, sodass eine Endlichkeitskorrektur vorgenommen werden muss. Es gilt bei 𝛼 = 0,001:
