Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Stand WS2027

Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix einer nicht-linearen Funktion mehrerer Variabler ist eine Matrix, die alle Kombinationen der 2. Ableitung der verschiedenen Variablen der Funktion f enthält. Um sich die Ableitungskombinationen der Hesse-Matrix besser merken zu können, kann man sich die Hesse-Matrix wie eine Tabelle vorstellen, wobei in der Vorspalte und der Kopfzeile die jeweiligen Ableitungen der Reihenfolge nach notiert sind. Die Kombination der beiden Ableitungen aus Zeile und Spalte ergibt sich dann zur 2.

Hesse-Matrix einer nicht-linearen Funktion mehrerer Variabler:

Die Hesse-Matrix einer nicht-linearen Funktion mehrerer Variabler ist eine Matrix, die alle Kombinationen der 2. Ableitungen der verschiedenen Variablen der Funktion 𝑓 enthält. Allgemein lässt sich die Hesse-Matrix einer Funktion mehrerer Variabler wie folgt darstellen:

$𝑯 𝑓 (𝒙) = (\begin{matrix} 𝑓_{𝑥_{1} 𝑥_{1}} (𝒙) & 𝑓_{𝑥_{1} 𝑥_{2}} (𝒙) & \dots & 𝑓_{𝑥_{1} 𝑥_{𝑛}} (𝒙) \\ 𝑓_{𝑥_{2} 𝑥_{1}} (𝒙) & 𝑓_{𝑥_{2} 𝑥_{2}} (𝒙) & \dots & 𝑓_{𝑥_{2} 𝑥_{𝑛}} (𝒙) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 𝑓_{𝑥_{𝑛} 𝑥_{1}} (𝒙) & 𝑓_{𝑥_{𝑛} 𝑥_{2}} (𝒙) & 𝑓_{𝑥_{𝑛} 𝑥_{𝑛}} (𝒙) \end{matrix}) 𝑚 𝑖 𝑡 𝒙 = {(𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛})}^{𝑇}$

Merke:

Um sich die Ableitungskombinationen der Hesse-Matrix besser merken zu können, kann man sich die Hesse-Matrix wie eine Tabelle vorstellen, wobei in der Vorspalte und der Kopfzeile die jeweilige Ableitungen der Reihenfolge nach notiert sind. Die Kombination der beiden Ableitungen aus Zeile und Spalte ergibt sich dann zur 2. partiellen Ableitung, wobei die Zeile immer die erste und die Spalte immer die zweite Variable angibt, nach der abgeleitet wird. Die theoretische Tabelle soll hier einmal beispielhaft mit 2 unbekannten Variablen 𝑥_1und 𝑥_2 dargestellt sein, wobei der Inhalt der Tabelle die Hesse-Matrix wiederspiegelt:

Ermittlung der Hesse-Matrix einer nicht-linearen Funktion mehrerer Variabler:

Es soll die Hesse-Matrix für die folgende gegebene Funktion ermittelt werden, wozu alle Kombinationen zweiter Ableitungen aller Variabler der Funktion zu ermitteln sind:

Beispielhafte Ermittlung der Hesse-Matrix einer nicht-linearen Funktion

Merke:

Unter der Voraussetzung, dass sich alle Variablen der nicht-linearen Funktion mehrerer Variablen zweimal differenzieren (ableiten) lassen, ist die Hesse-Matrix eine symmetrische Matrix, was bedeutet, dass die Matrix mit ihrer transponierten Matrix übereinstimmt.