Definitheit
Die Definitheit einer quadratischen Form (Matrix) kann mittels der Hauptunterdeterminanten der symmetrischen Matrix bestimmt werden. Dazu gilt es, die Matrix in eine symmetrische Matrix umzuformen und die Hauptunterdeterminanten zu bestimmen. Bei den Hauptunterdeterminanten handelt es sich um alle Determinanten, die sich berechnen lassen, wenn man die Matrix Schritt für Schritt um seine Zeilen/Spalten erweitert.
Grundlagen der Definitheit einer quadratischen Form:
Für quadratische Formen lassen sich Aussagen über deren Definitheit treffen. Dabei kann eine quadratische Form positiv (semi-)definit, negativ (semi-)definit oder indefinit sein. Die Bestimmung der Definitheit erfolgt dabei über die Matrix 𝑨 der quadratischen Form, wobei die Matrix 𝑨 zunächst in eine symmetrische Matrix umzuwandeln ist. Mittels der symmetrischen Matrix 𝑨 kann dann über die Eigenwerte oder die Hauptunterdeterminanten der Matrix die Definitheit bestimmt werden.
Merke:
Die Definitheit von ökonomischen Gleichungen mehrerer Variabler wird vor allem zur Prüfung einer Extremstelle, ob es sich bei dieser um ein Minimum, Maximum oder einen Sattelpunkt handelt, gebraucht.Methoden zur Bestimmung der Definitheit einer quadratischen Form:
Die Bestimmung der Definitheit einer quadratischen Form kann auf zwei verschiedene Weisen erfolgen:
1. Eigenwerte der Matrix:
Durch die Bestimmung der Eigenwerte der symmetrischen Matrix 𝑨 der quadratischen Form lässt sich die Definitheit der quadratischen Form bestimmen.
2. Hauptunterdeterminanten-Kriterium:
Durch die Bestimmung der Hauptunterdeterminanten der symmetrischen Matrix 𝑨 der quadratischen Form lässt sich die Definitheit der quadratischen Form bestimmen.
Je nach Wahl der Methode ergibt sich die folgende Definitheit der quadratischen Form:
Bestimmung der Definitheit einer quadratischen Form mittels Hauptunterdeterminanten-Kriterium:
Wir wollen die Definitheit der folgenden quadratischen Form mittels des Hauptunterdeterminanten-Kriteriums bestimmen. Dabei unterstellen wir erneut unsere symmetrische Matrix 𝑨, damit das Hauptunterdeterminanten-Kriterium zulässig ist:
Bestimmung der Hauptunterdeterminanten
Da alle Hauptunterdeterminanten der symmetrischen Matrix positiv sind, ist die quadratische Form positiv definit.
Nicht-Anwendbarkeit des Hauptunterdeterminanten-Kriteriums:
Das Hauptunterdeterminanten-Kriterium ist in einem besonderen Fall nicht anwendbar, nämlich wenn sich die erste Hauptunterdeterminante zu Null ergibt, bzw. der oberste linke Wert der Matrix 𝑨 Null beträgt. In diesem Fall darf die Hauptunterdeterminanten-Methode nicht verwendet werden: